3次元の回転行列を２次元の回転行列からスッと導く

2次元の回転行列は、以下の図より

２次元の回転

x軸、y軸それぞれに対応する単位ベクトルが上のように変換されることから、

となることがわかる。ここで、z軸を考えるとz座標は、回転に関係しないので、この２次元の話をそのまま適応すれば良い。よって、

となる。他の軸のことも同様のことが言えるのは確かだ。しかし、なんの考えもなしに、導くと次のようになりそうである。

しかし、ここでｙ軸の回転行列が間違っている。これは、ｚｘ平面の２次元の回転行列を考えればわかることだが、そんなの考えずにy軸の回転行列をすっと導きたい(５月だし、、、)。

その方法は次の通りだ。z軸の回転行列はわかっているものとする。それを左上にずらし、はみ出たものを反対側から入れこめば良い。そうすれば、すべて正しいものが得られる。